Thèse Optimisation de Zones de Contrôle ou d'Observation pour des Problèmes de Temps Minimal H/F - 50

Établissement : École nationale des ponts et chaussées
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : CERMICS - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique
Direction de la thèse : Pierre LISSY ORCID 0009000310503445
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-12-31T23:59:59

On s'intéressera à une famille de problèmes omniprésents dans le domaine de l'ingénierie :
l'optimisation de zones de contrôle ou d'observation. Typiquement, dans quantité de problèmes pratiques, il peut s'agir de déterminer les formes, positions et nombre de capteurs optimisant un critère donné. Dans l'application visée par cette thèse, on cherche à refroidir une membrane chauffée dont on contrôle la température sur un sous-ensemble de noté . On cherchera notamment à étudier les questions suivantes :
1. En agissant uniquement sur , est-il possible de faire en sorte que la température de la membrane
soit égale à 0 partout en un horizon de temps T donné ?
2. Existe-t-il un temps minimal pour pouvoir y arriver ?
3. Si on se donne la possibilité de choisir , existe-t-il un meilleur choix de domaine ?

Pour résoudre ces questions, il faudra étudier des notions de contrôle permettant de réduire la première question à l'établissement d'une inégalité fonctionnelle appelée inégalité d'observabilité. L'existence d'un temps minimal utilise des notions d'optimisation en dimension infinie. Enfin, pour répondre à la dernière question (théoriquement et/ou numériquement), il s'agira de comprendre en premier lieu les topologies dont on peut munir des espaces de formes et d'étudier les propriétés de continuité de la fonctionnelle de forme considérée. On cherchera également à trouver des conditions d'optimalité et à les exploiter afin d'étudier la dépendance de la forme du domaine de contrôle sur le temps minimal. Des expérimentations numériques pourront être faites en utilisant des techniques de variation de domaine mettant en jeu la dérivée de forme de Hadamard.

On pourra étendre l'étude à d'autres équations issues de la physique comme l'équation des ondes.

Les problèmes de contrôle pour les équations paraboliques, en particulier l'équation de la chaleur, constituent un domaine classique et très actif. Au coeur de ces questions se trouvent des reformulations équivalentes que sont les inégalités d'observabilité, qui peuvent se réinterpréter comme une propriété qui garantit qu'on peut reconstruire ou estimer tout l'état d'un système dynamique à partir d'une quantité d'information partielle (souvent des observations sur une zone ou durant un temps limité) . Plus récemment, un intérêt croissant s'est développé autour de l'optimisation de la localisation des actionneurs ou capteurs, donnant lieu à une littérature dédiée sur l'optimalité en norme et en temps et sur le choix de domaines de contrôle adaptés. Cette thèse s'inscrit dans cette dynamique.