Thèse Méthodes Mathématiques et Analyse Numérique pour l'Échantillonnage de Dynamiques Métastables H/F - 50

Établissement : École nationale des ponts et chaussées
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : CERMICS - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique
Direction de la thèse : Tony LELIÈVRE ORCID 000000023412113X
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-06-30T23:59:59

La dynamique moléculaire peut être vue comme une mise en oeuvre pratique de la physique statistique, qui permet en principe d'obtenir des grandeurs macroscopiques à partir des lois d'interaction microscopiques entre les atomes composant un système physique. Ces lois sont encodées dans une fonction d'énergie potentielle, qui dépend de la configuration microscopique d'un système composé de nombreux atomes. Les propriétés d'équilibre (comme la loi d'état d'un fluide ou sa capacité calorifique) sont obtenues sous forme de moyennes par rapport à des mesures de probabilité en très grande dimension, qui décrivent l'état macroscopique du système -- typiquement, une mesure de Boltzmann--Gibbs. Ces intégrales sont approchées en pratique par des moyennes trajectorielles, notamment à l'aide de discrétisations d'équations différentielles stochastiques telles que l'équation de Langevin.

Au-delà des propriétés d'équilibre, il est également intéressant de calculer des propriétés dynamiques. Un premier exemple est donné par les coefficients de transport, qui relient une perturbation induite sur le système à sa réponse en termes de flux (par exemple, le flux d'énergie en réponse à un gradient de température pour la conductivité thermique). Un second exemple est le calcul des constantes de réaction pour des transformations chimiques, ou plus qualitativement, l'étude des chemins de transition menant d'un état métastable à un autre.

L'objectif de cette thèse est d'aborder les deux grands types de calculs en physique statistique computationnelle : les quantités thermodynamiques (obtenues par échantillonnage de la mesure de Boltzmann-Gibbs), et les quantités dynamiques (obtenues par échantillonnage des trajectoires). De nombreuses méthodes ont été développées au fil des ans pour calculer efficacement des propriétés d'équilibre (algorithmes d'échantillonnage non réversibles, méthodes de réduction de variance fondées sur l'utilisation de fonctions d'importance telles que l'énergie libre, etc.), mais nombre de ces méthodes restent encore mal comprises d'un point de vue mathématique. Par ailleurs, le calcul des propriétés dynamiques demeure souvent trop coûteux pour de nombreuses applications. La difficulté essentielle réside dans la métastabilité des systèmes physiques, c'est-à-dire le fait qu'ils restent longtemps piégés dans un mode de la mesure de probabilité cible, avant de passer relativement rapidement à un autre mode. Les états métastables peuvent correspondre, par exemple, à différentes conformations d'une molécule biologique, ou aux réactifs et produits d'une réaction chimique. Ces difficultés sont au coeur des problèmes rencontrés par les scientifiques utilisant ces méthodes pour étudier la matière à l'échelle moléculaire, dans des domaines variés tels que la chimie, la biologie ou les sciences des matériaux.

L'objectif de la thèse est d'étudier mathématiquement certains modèles et algorithmes utilisés en simulation moléculaire. Le sujet précis sera co-construit avec l'étudiant(e) en fonction de ses centres d'intérêts: aspects probabilistes, analyse des équations aux dérivées partielles, méthodes numériques probabilistes, machine learning pour la réduction de dimension et l'échantillonnage, développement informatique et applications (chimie, biologie ou science des matériaux),...

Le CERMICS, et en particulier Tony Lelièvre et Gabriel Stoltz ont un réseau de collaboration bien établi sur les thématiques de ce projet de thèse (échantillonnage en physique statistique computationnelle: réduction de dimension, évènements rares, calcul d'énergie libre,
réduction de variance, etc.). En particulier, l'étudiant en thèse aura l'occasion d'interagir avec des scientifiques d'autres disciplines utilisateurs de ces méthodes numériques (Danny Perez LANL, Chris Chipot CNRS Nancy , Jean-Philip Piquemal HP Tinker et Sorbonne Université), et également avec des ingénieurs d'industries partenaires (SANOFI, CEA, IFPEN).