Thèse Modèles de Dynamique de Populations et de Propagation d'Opinions avec Incertitudes H/F - 50

Établissement : École nationale des ponts et chaussées
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay
Direction de la thèse : Virginie EHRLACHER ORCID 0000000165404784
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-07-12T23:59:59

Cette thèse s'inscrit dans le cadre d'un projet de modélisation mathématique de phénomènes sociaux. Nous nous intéressons en particulier à la modélisation de mouvements de foules, selon diverses approches. Certains modèles sont basés sur un suivi de chaque individu, identifié à une particule dans le plan, d'autres modèles sont de type macroscopique, représentant la foule par une densité. Dans les deux cas, on définit un champ de vitesses souhaitées (que les individus souhaiteraient avoir s'ils étaient seuls), et le c\oe ur du modèle repose sur la manière dont on encode les interactions entre individus (tendances sociales comme l'évitement de trop fortes densités, contacts physiques entre personnes, ...). Un autre axe de recherche porte sur la modélisation du peuplement: on cherche ici à décrire l'évolution de la densité d'habitants dans une certaine zone géographique, sous l'hypothèse que les nouveaux arrivants cherchent à optimiser leur positionnement selon différents critères (qualité du milieu local, réticence au trop fortes densité, mais en même temps volonté de résider au sein d'une communauté, infrastructures, ...). Dans ces différents contextes, une limitation majeure des formulations classiques réside dans leur caractère essentiellement déterministe. Dans la réalité, Les comportements individuels et collectifs présentent une forte variabilité, tant cognitive que dynamique, ce qui motive l'introduction explicite d'incertitudes dans les modèles.
Dans le cas des foules, cette variabilité et ces incertitudes peuvent avoir plusieurs origines: d'une part, la densité intiale de population peut ne pas être connue avec précision; d'autre part, les données du problèmes comme les paramètres intervenant dans le modèle peuvent être entachées d'incertitudes également; enfin, les incertitudes inhérentes au problème peuvent également avoir une influence sur le comportement et la prise de décision des individus. On peut d'ailleurs distinguer deux types d'incertitudes, à savoir des incertitudes systémiques, liées au fait que les données du problèmes sont des variables aléatoires, et des incertitudes ressenties par les individus composant la population considérée. L'objectif de cette thèse est de combler cette lacune en développant un cadre mathématique pour la dynamique de foule ou la modélisaiton du peuplement intégrant des incertitudes, qu'elles soient systémiques ou ressenties. Par ailleurs, nous souhaiterions que les modèles développés puissent être suffisamment simples pour pouvoir être simulés numériquement.

Une idée possible dans le cadre de ce projet est de considérer des modèles qui prennent en compte les incertitudes intervenant dans l'évolution de la foule considérée par le biais d'une représentation des incertitudes simplifiée, à travers des opérateurs de covariance. Par exemple, pour les modèles macroscopiques de foules, on se propose de considérer la densité de population $\rho(t; x)$ comme une variable aléatoire dont l'espérance $\bar \rho(t; x)$ représente la densité moyenne. Les corrélations spatiales pourraient être décrites par un opérateur $C(t)$, auto-adjoint et semi-défini positif, dont le noyau est donné par
\[
C(t;x,y) = \mathbb{E}[(\rho(t;x)-\bar\rho(t;x))(\rho(t;y)-\bar\rho(t;y))].
\]
L'état du système à un instant $t$ serait alors le couple $(\bar\rho(t), C(t))$ et un des premiers objectifs du travail serait alors de proposer un modèle pertinent pour modéliser l'évolution de ce couple.

Dans le cadre de la thèse, on pourra également considérer des modèles de propagation d'opinion sur réseau sociaux, avec prise en compte de la confiance en soi (avec la métrique de Fisher). Ces modèles peuvent s'interpréter en considérant que l'on résout l'équation de diffusion sur un domaine avec conditions aux limites de Dirichlet, mais avec des conditions sur le bord imparfaitement connues. Dans ce contexte, on cherche alors à l'intérieur un champ scalaire accompagné d'un champ d'écarts type.
Pour résumer la philosopie générale de l'approche, il s'agit de développer des modèles qui portent non seulement sur la variable principale d'intérêt, mais sur les incertitudes qui l'accompagnent, en s'attachant à modéliser les interactions fortes entre ces deux champs (prise en compte des incertitudes dans les décisions prises par les entités, et propagation de ces incertitudes dans l'évolution).